Ecuaciones Dif: agosto 2014

sábado, 9 de agosto de 2014

Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Variables

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogeneas

Se les da el nombre, si la relación entre las derivadas sucesivas de sus coeficientes es de la forma:

a_o(x) y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n-1(x)y + a_n(x)y = h(x)

Si a_o(x) es diferente de cero, la ecuación se normaliza

y⁽ⁿ⁾+ b₁(x)y^(n-1) + ... + b_n-1(x)y + b_n(x)y = h(x)/a_o(x)

Si h(x) es distinto de cero , la ecuación es lineal no homogénea

Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ecuaciones Diferenciales de primer Orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

(1a) $\begin{cases} \cfrac{dy}{dx} = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$

o en su forma implícita:

(1b) $f\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right) = 0\ \mbox{con}\ y(x_0) = y_0$

Metodo de Resolucion

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

F(x,y) = \int M\,dx + g(y) = \int N\,dy + g(x) \,\!

Para despejar la función g se deriva $F(x,y)\,\!$ con respecto a la variable independiente de g.

Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general $F(x,y)\,\!$ .

Ecuacion Exacta

Ecuaciones Homogeneas

Una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea es una ecuación diferencial lineal que puede ser expresada como un conjunto de sumandos cada uno de los cuales es lineal en la incógnita o una de sus derivadas. El caso más sencillo se da para una función escalar de una única variable, si una ecuación diferencial para dicha función es homogénea entonces admitirá una representación de la forma:

(*)

Si una ecuación lineal diferencial es homogénea entonces el conjunto de soluciones formará un espacio vectorial de dimensión n (siendo n el orden de la ecuación diferencial). En particular una ecuación diferencial lineal y homogénea del tipo (*) admitirá soluciones de la forma:

Separacion de Variables

En algunos casos puede obtenerse de la misma, una solución explícita. Pero en realidad se obtienen expresiones implícitas “formales” que satisfacen la ecuación diferencial, pero que quizá para ciertos valores de la constante no definen soluciones explícitas.

Así la: x dx + y dy = 0 , da lugar a x² + y² = C que formalmente satisface a la ecuación diferencial, pero que no define implícitamente a ninguna función para c £ 0.

Ecuacion No Lineal

Son las que pueden escribirse en la forma: f(x) dx = g(y) dy (1)

Es decir, con las variables separadas.

Se supondrá que f(x) y g(y) son continuas respectivamente en I y J . Por el teorema de existencia y unicidad, habrá solución única por cada (x_o , y_o) Î I ´ J, siempre que no se anule g(y) en J.

Si y = j (x) es una solución de la ecuación diferencial (1), habrá de cumplirse la identidad :

g[j(x)] j´ (x) dx º f(x) dx " x Î I

Ecuacion Lineal

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Se iniciará estudiando ecuaciones diferenciales de primer orden suponiendo que Ia ecuación tiene Ia forma o puede ser llevada a:

EI problema es entonces el siguiente: dada f(t, y) encontrar todas las funciones y(t) que satisfacen la ecuación diferencial (1). Este problema puede ser atacado de Ia siguiente manera. Un principio fundamental de Ias matemáticas es que la manera de resolver un nuevo problema es reducirlo, de alguna manera, a un problema que ya ha sido resuelto.

En la práctica se hace esto repetidas veces hasta llegar a un problema que tiene Ias caracteristicas de uno que ya se resolvió. Dado que por el momento el problema es resolver ecuaciones diferenciales, es recomendable hacer una lista de ias ecuaciones diferenciales que pueden resolverse. Si se parte de la suposición de que los antecedentes matemáticos consisten solamente en Cálculo elemental se verá que Ia triste realidad es que la única ecuación diferencial de primer orden que es posible resolver es

donde g es una función integrable del tiempo. Para resolver la ecuación (2), simplemente se integran ambos lados con respecto a t y se obtiene

Aquí c es una constante arbitraria de integración y por

se representa una anti derivada de g; en otras palabras, una función cuya derivada es g. Por esto, para resolver cualquier otra ecuación diferencial hay que reducirla de alguna manera a la forma (2).

Origenes de las Ecuaciones Diferenciales

El conocimiento y desarrollo de las ecuaciones diferenciales en el mundo nacieron (como lo han hecho todas las ciencias conocidas) producto de la necesidad que posee el ser humano de encontrar la solución de los problemas que se presentan en su diario vivir, en su trabajo o en cualquier otra situación y que requieren de un método apropiado para llegar a una respuesta buscada.

Es así como, en un principio, Newton, Leibniz y los Bernoulli en el Siglo XVII descubrieron las ecuaciones diferenciales y las utilizaron en la resolución de problemas de geometría y mecánica y al mismo tiempo, sentaron como precedente la importancia de las mismas en diversas situaciones y la necesidad de un amplio desarrollo posterior, camino en el cual se hallarían nuevos métodos resolutivos con niveles de compejidad muy diferentes, miles de aplicaciones y, paso tras paso, desencadenarían en una importantísima área de las matemáticas.

Este suceso que marcó el inicio de la historia de las ecuaciones diferenciales es, sin lugar a duda, un destacado acontecimiento para las matemáticas y para las ciencias que sirven de ellas en su desarrollo, tanto que las ecuaciones diferenciales son consideradas en nuestros días como pilares fundamentales de los conocimientos ingenieriles y de las áreas investigativas, entre muchos otros aspectos.

Definicion de Grado y Orden de una Ecuacion Diferencial

Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ejemplos:

$\,y'= y$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones $y = f(x) = k \cdot e^x$ , con k un número real cualquiera.
$\,y'' + y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $y = f(x) = a \cos (x) + b \sin (x)\,$ , con a y b reales.
$\,y'' - y = 0$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones $\,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x)$ , con a y b reales.

Clasificacion de las Ecuaciones Diferenciales en Ordinarias y Parciales

Dependiendo del número de variables independientes

respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se clasifican en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales (EDP): aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. En ellas, aplican la notación de la derivación parcial.

Definiciones Basicas y Terminologia

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

Y´=2xy+1

La notación ( ´ ) prima se usa para denotar el numero de la derivada siendo esta usada hasta tres prima (´´´) de ahí en delante se utiliza notación numérica (Y)

La anterior es una ecuación diferencial ordinaria, donde (Y) representa una función no especificada de la variable independiente (X), es decir

Y´= dy/dx

Es la derivada de Y con respecto a X.

(d^2 x)/(dt^2 ) + 16x = 0

Una ecuación diferencial puede escribirse en diferentes notaciones para las derivadas. Se ejemplifican las notaciones para primera, segunda y tercera derivada:

Funcion Primitiva de una Ecuacion Diferencial

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

Solucion de una Ecuacion Diferencial

Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

Grado de una Ecuacion Diferencial

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

viernes, 8 de agosto de 2014

Orden de una Ecuacion Diferencial

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales

DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

dy/dx = 2x

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

( d^2V / dx^2 ) + 2 ( d^2V / dy^2 ) = V

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

Ecuaciones Dif